23.04.2020

Corona im SIR-Modell

Die Pandemie erklärt anhand von System Dynamics

Von Nils Harder (BSc Interntional Business), Fenja Indorf (BSc International Business) und Prof. Dr. Florian Kapmeier

Geschlossene Schulen und Universitäten, gesperrte Spielplätze und Innenstädte, die Geisterstädten ähneln – warum sind Kontaktsperren in Zeiten von Covid-19 ein notwendiges politisches Instrument? Welche Parameter beeinflussen die Geschwindigkeit und Intensität der Ausbreitung einer Epidemie? Wann wird überhaupt von einer Epidemie gesprochen? Welche Lehren gab es nach SARS im Jahr 2003, der Schweine- und Vogelgrippe und MERS? Welche Instrumente stehen Politikern zur Verfügung, um eine Epidemie gegebenenfalls zu verlangsamen oder sogar zu verhindern?

Diesen und anderen Fragen stellten sich die Studierenden im 5. Semester des BSc International Business unter Anleitung von Prof. Dr. Florian Kapmeier in der Vorlesung System Dynamics, in der komplexe dynamische Phänomene untersucht werden. In einer Seminararbeit analysierten sie mit einem System Dynamics-Simulationsmodell die Ausbreitung von SARS im Jahr 2003 in Taiwan. Anschließend wurden in der Vorlesung die gewonnenen Erkenntnisse aus dem Modell auf die derzeitige Covid-19-Situation in Deutschland übertragen.

Als Ausgangspunkt der Analyse diente die unter Epidemiologen etablierte mathematische Modellierung anhand eines SEIR-Modells, das Menschen in vier Gruppen unterteilt: S steht für die Anzahl der gesunden Menschen, die die Krankheit bekommen können (Susceptible contacts), E für latent Infizierte (Exposed), I für Infizierte, die die Krankheit weitergeben können (Infected) und R für Geheilte (Recovered). Während das SEIR-Modell explizit die Inkubationszeit berücksichtigt, kann die Intuition der Verbreitung einer Epidemie auch anhand des vereinfachten SIR-Modells erklärt werden.

Charakteristisch für das SIR-Modell sind die drei Zustandsgrößen S, I und R (siehe Grafik). Wie sich eine ansteckende Krankheit ausbreitet, hängt vom Zusammenspiel der sich ergebenden nichtlinearen Rückkopplungsschleifen ab. Die drei Zustandsgrößen sind durch die beiden FlussgrößenInfektionsrate IR und Erholungsrate RR und die drei Rückkopplungsschleifen miteinander verbunden.

Gibt es zu Beginn der Infektion eine infizierte Person, ergibt sich daraus für einen gesunden Menschen eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, mit einem Infizierten in Kontakt zu kommen. Damit steigt die Anzahl an Kontakten zwischen Suszeptiblen und Infizierten, weshalb die Infektionsrate und damit die Zahl der Infizierten weiter steigen. Es ist eine sich selbst verstärkende Rückkopplungsschleife (R1 Contagion) geschlossen, die die Zahl der Infizierten exponentiell steigen lässt. Die InfektionsrateIR wird von einer konstanten Infektiosität i der Krankheit (infectivity) und der Anzahl an suszeptiblen Kontakten, die von der Kontaktrate c (contact frequency) abhängig ist, und den Kontakten zwischen Infizierten und Suszeptiblen bestimmt. Eine höhere Kontaktrate c lässt die suszeptiblen Bevölkerung durch die zielsuchende Rückkopplungsschleife B1 schnellererschöpfen. Je größer die Infektiosität i und die Kontakthäufigkeit c ist, desto stärker läuft folglich die Rückkopplungsschleife R1 und desto mehr Menschen werden infiziert. Nach einer durchschnittlichen Dauer der Infektiosität d erholen sich Menschen und werden immun oder sterben. Wie schnell sich Menschen erholen (ErholungsrateRR), hängt von der durchschnittlichen Dauer der Infektiosität d ab: je niedriger sie ist, desto stärker ist die Erholungsrate – und desto weniger Menschen können dann auch angesteckt werden. Hier wird die zielsuchende Rückkopplungsschleife B2 – Recovery geschlossen, die, wenn stark genug, eine Epidemie verhindern kann.

Grundsätzlich entwickelt sich eine ansteckende Krankheit dann zur Epidemie, wenn die Infektionsrate IR höher ist als die Erholungsrate RR, also IR>RR. Aus der Multiplikation der drei Parameter Kontaktrate c, Infektiosität i und durchschnittliche Dauer der Infektiosität d ergibt sich die (zu Beginn einer Epidemie bestehende) Basisreproduktionszahl R0, von der zurzeit in den Medien häufig berichtet wird. Ist R0 größer als 1, infizieren sich Menschen schneller als dass sie gesunden (ein Mensch steckt dann mehr als einen weiteren Menschen an). Die Epidemie nimmt folglich ihren Lauf; erst exponentiell, anschließend werden die beiden zielsuchenden Rückkopplungsschleifen stärker und schwächen den Verlauf ab, bis ein bestimmter Prozentsatz der Bevölkerung immunisiert ist. Je höher R0, desto mehr Menschen einer Bevölkerung werden sich anstecken. Masern haben beispielsweise einen R0-Wert von zwischen 12 und 18.

Nach derzeitigem Erkenntnisstand des Robert Koch Instituts lag die Basisreproduktionszahl R0 zu Beginn der Epidemie von Covid-19 zwischen 2,4 und 3,3. Inzwischen konnte durch die in Deutschland ergriffenen Maßnahmen die Basisreproduktionszahl R0 stark reduziert werden; ein Wert von unter 1 ist notwendig, um die Epidemie zu stoppen. Beim Übertragen der Erkenntnisse ihrer Analyse auf die Situation für Covid-19 konnten die Studierenden drei Aspekte feststellen: 1. die Zustandswahrscheinlichkeit einer Infektion bei Kontakt ist basierend auf der relativ einfachen Übertragung des Virus aufgrund seiner Einnistung im Rachen hoch (es gibt noch keinen Impfstoff, der i vermindern kann). 2. die durchschnittliche Dauer der Infektiosität von 14 Tagen ist ebenfalls relativ hoch (es gibt noch keine Medikamente zur Reduzierung von d). 3. Der einzige der drei Parameter, der derzeit von uns beeinflusst werden kann, ist die Kontaktrate c. Daher versuchen Politiker auf der ganzen Welt, diesen Parameter bestmöglich zu verringern.

In der Politik werden unterschiedliche Ansätze verfolgt, um die Ausbreitung einzudämmen. China beschloss eine strenge Isolation der Erkrankten und ganzer Risikogebiete sowie Überwachung. Unter anderem werden Bewegungsprofil-Analysen und Fiebermessungen mit Drohnen durchgeführt. Südkorea setzt angesichts der sehr technikaffinen Bevölkerung auf Überwachung der Quarantäne durch digitale Hilfsmittel. In Deutschland sind die ersten Wochen der Kontaktsperre vorüber und inzwischen ist eine leichte Abflachung der Infizierungskurve im System zu beobachten. In einem Punkt sind sich Regierungsvertreter einig: Unser individuelles Verhalten ist der bestimmende Faktor für den Ausgang der Covid-19-Epidemie. Je mehr Menschen bereit sind ihr Verhalten konsequent zu ändern, desto erfolgreicher ist die Eindämmung. Durch soziale Distanzierung und Einhaltung von Hygienepraktiken können wir das endgültige Ausmaß der Epidemie drastisch eingrenzen, wertvolle Zeit gewinnen, um das Gesundheitssystem nicht zu überlasten und so viele Menschenleben retten. In Anbetracht der hohen Inkubationszeit und Anzahl an asymptomatischen Infizierten ist jeder Tag, besonders am Anfang einer sich anbahnenden Epidemie, von großer Bedeutung, um die Dominanz der sich verstärkenden Rückkupplungsschleife und der Infektionsrate zu verringern, so dass ein exponentieller Anstieg verhindert werden kann.

Doch was ist zu erwarten, sobald die Maßnahmen gelockert werden? Ist eine zweite Welle wahrscheinlich? Wie kann man in den Alltag zurückkehren? Diese und weitere Fragen konnten die Studierenden in einem online durchgeführten Gastvortrag von Prof. Jeroen Struben, PhD, der emlyon business school in Frankreich besprechen. Er hat ein detaillierteres Covid-19-Simulationsmodell für Entscheidungsträger entwickelt. Interessierte können damit die Auswirkungen verschiedener Entscheidungsregeln hier für sich selbst erkunden.